1928 год американский инженер Ральф Хартли рассматривает процесс получения информации как выбор одного сообщения из конечного заданного множества N равновероятных событий.
Формула Хартли:
где К - количество информации, N -число равновероятных событий.
Формула Хартли может быть записана и так: N=2k
Так как наступление каждого из N событий имеет одинаковую вероятность P, то:
где P- вероятность наступления события.
Тогда, формулу можно записать иначе:
1948 год американский ученый Клод Шеннон предложил другую формулу определения количества информации, учитывая возможную неодинаковую вероятность событий в наборе.
Формула Шеннона:
K = - (p1 *log2 p1+ p2 *log 2p 2 + p 3 *log 2p 3 +…+ pi * log2 pi),
где pi вероятность того, что именно i-е сообщение выделено в наборе из N сообщений.
Также эту формулу записывают:
Современная наука о свойствах информации и закономерностях информационных процессов называется теорией информации. Содержание понятия "информация" можно раскрыть на примере двух исторически первых подходов к измерению количества информации: подходов Хартли и Шеннона: первый из них основан на теории множеств и комбинаторике, а второй - на теории вероятностей.
Информация может пониматься и интерпретироваться в различных проблемах, предметных областях по-разному. Вследствие этого, имеются различные подходы к определению измерения информации и различные способы введения меры количества информации.
Количество информации - числовая величина, адекватно характеризующая актуализируемую информацию по разнообразию, сложности, структурированности (упорядоченности), определенности, выбору состояний отображаемой системы.
Если рассматривается некоторая система, которая может принимать одно из n возможных состояний, то актуальной задачей является задача оценки этого выбора, исхода. Такой оценкой может стать мера информации (события).
Мера - непрерывная действительная неотрицательная функция, определенная на множестве событий и являющаяся аддитивной.
Меры могут быть статические и динамические, в зависимости от того, какую информацию они позволяют оценивать: статическую (не актуализированную; на самом деле оцениваются сообщения без учета ресурсов и формы актуализации) или динамическую (актуализированную т.е. оцениваются также и затраты ресурсов для актуализации информации).
Существуют различные подходы к определению количества информации. Наиболее часто используются следующие объемный и вероятностный.
Объемный подход.
Используется двоичная система счисления, потому что в техническом устройстве наиболее просто реализовать два противоположных физических состояния: намагничено / не намагничено, вкл./выкл., заряжено / не заряжено и другое.
Объём информации, записанной двоичными знаками в памяти компьютера или на внешнем носителе информации, подсчитывается просто по количеству требуемых для такой записи двоичных символов. При этом невозможно нецелое число битов.
Для удобства использования введены и более крупные, чем бит, единицы количества информации. Так, двоичное слово из восьми знаков содержит один байт информации, 1024 байта образуют килобайт (кбайт), 1024 килобайта - мегабайт (Мбайт), а 1024 мегабайта - гигабайт (Гбайт).
Энтропийный (вероятностный) подход.
Этот подход принят в теории информации и кодирования. Данный способ измерения исходит из следующей модели: получатель сообщения имеет определённое представление о возможных наступлениях некоторых событий. Эти представления в общем случае недостоверны и выражаются вероятностями, с которыми он ожидает то или иное событие. Общая мера неопределённостей называется энтропией. Энтропия характеризуется некоторой математической зависимостью от совокупности вероятности наступления этих событий.
Количество информации в сообщении определяется тем, насколько уменьшилась эта мера после получения сообщения: чем больше энтропия системы, тем больше степень её неопределённости. Поступающее сообщение полностью или частично снимает эту неопределённость, следовательно, количество информации можно измерять тем, насколько понизилась энтропия системы после получения сообщения. За меру количества информации принимается та же энтропия, но с обратным знаком.
Подход Р. Хартли основан на фундаментальных теоретико-множественных, по существу комбинаторных основаниях, а также нескольких интуитивно ясных и вполне очевидных предположениях.
Если существует множество элементов и осуществляется выбор одного из них, то этим самым сообщается или генерируется определенное количество информации. Эта информация состоит в том, что если до выбора не было известно, какой элемент будет выбран, то после выбора это становится известным. Необходимо найти вид функции, связывающей количество информации, получаемой при выборе некоторого элемента из множества, с количеством элементов в этом множестве, т.е. с его мощностью.
Если множество элементов, из которых осуществляется выбор, состоит из одного единственного элемента, то ясно, что его выбор предопределен, т.е. никакой неопределенности выбора нет - нулевое количество информации.
Если множество состоит из двух элементов, то неопределенность выбора минимальна. В этом случае минимально и количество информации.
Чем больше элементов в множестве, тем больше неопределенность выбора, тем больше информации.
Таким образом, логарифмическая мера информации, предложенная Хартли, одновременно удовлетворяет условиям монотонности и аддитивности. Сам Хартли пришел к своей мере на основе эвристических соображений, подобных только что изложенным, но в настоящее время строго доказано, что логарифмическая мера для количества информации однозначно следует из этих двух постулированных им условий.
В 1948 году, исследуя проблему рациональной передачи информации через зашумлённый коммуникационный канал, Клод Шеннон предложил революционный вероятностный подход к пониманию коммуникаций и создал первую, истинно математическую, теорию энтропии. Его сенсационные идеи быстро послужили основой разработки двух основных направлений: теории информации, которая использует понятие вероятности и эргодическую теорию для изучения статистических характеристик данных и коммуникационных систем, и теории кодирования, в которой используются главным образом алгебраические и геометрические инструменты для разработки эффективных кодов.
Клод Шеннон предположил, что прирост информации равен утраченной неопределённости, и задал требования к её измерению:
- 1. мера должна быть непрерывной; то есть изменение значения величины вероятности на малую величину должно вызывать малое результирующее изменение функции;
- 2. в случае, когда все варианты (буквы в приведённом примере) равновероятны, увеличение количества вариантов (букв) должно всегда увеличивать значение функции;
- 3. должна быть возможность сделать выбор (в нашем примере букв) в два шага, в которых значение функции конечного результата должно являться суммой функций промежуточных результатов.
Поэтому функция энтропии должна удовлетворять условиям:
определена и непрерывна для всех,
где для всех и. (Нетрудно видеть, что эта функция зависит только от распределения вероятностей, но не от алфавита).
Для целых положительных, должно выполняться следующее неравенство:
Для целых положительных, где, должно выполняться равенство:
информационный пропускной энтропийный
Шеннон определил, что измерение энтропии, применяемое к источнику информации, может определить требования к минимальной пропускной способности канала, требуемой для надёжной передачи информации в виде закодированных двоичных чисел. Для вывода формулы Шеннона необходимо вычислить математическое ожидание «количества информации», содержащегося в цифре из источника информации. Мера энтропии Шеннона выражает неуверенность реализации случайной переменной. Таким образом, энтропия является разницей между информацией, содержащейся в сообщении, и той частью информации, которая точно известна (или хорошо предсказуема) в сообщении. Примером этого является избыточность языка -- имеются явные статистические закономерности в появлении букв, пар последовательных букв, троек и т.д.
Своё дальнейшее развитие теория информации получила в работах Клода Шеннона, американского инженера и математика (1916 – 2001). Шеннон является одним из создателей математической теории информации. Его основные труды посвящены теории релейно-контактных схем, математической теории связи, кибернетике. К. Шеннон изучал вопросы передачи информации в телеграфии, телефонии или радиовещании в виде сигналов электромагнитных колебаний. Одна из задач, которую ставил перед собой К. Шеннон, заключалась в том, чтобы определить систему кодирования, позволяющую оптимизировать скорость и достоверность передачи информации. Так как в годы войны он служил в шифровальном отделе, где занимался разработкой криптографических систем, то это позже помогло ему открыть методы кодирования с коррекцией ошибок. В своих работах 1948-1949 годов К. Шеннон определил количество информации через энтропию - величину, известную в термодинамике и статистической физике как мера разупорядоченности системы , а за единицу количества информации принял то, что впоследствии назвали битом (bit).
Для дальнейшего изложения необходимо использовать некоторые понятия теории вероятности : случайное событие, опыт, вероятность события, случайная величина.
В окружающем нас мире происходят различные события, причём мы можем интуитивно, основываясь на опыте, оценивать одни из них как более возможные, чем другие.
Случайным называют событие, которое может наступить или не наступить в результате некоторого испытания, опыта или эксперимента. Будем обозначать события заглавными буквами A, B, C и т.д.
Количественная мера возможности наступления некоторого события A называется его вероятностью и обозначается как p(A), p – от английского probability. Чем более возможно наступление случайного события, тем больше его вероятность: если A более возможно чем B , то p(A) > p(B).
Вводится понятие достоверного события – событие, которое обязательно наступит. Это событие обозначают Ω и полагают, что его вероятность p(Ω) = 1 .
Невозможным называют событие, которое никогда не произойдёт. Его обозначают « и полагают, что его вероятность p(Æ)= 0 . Для вероятностей всех остальных событий A выполняется неравенство p(Æ) < p(A) < p(Ω) , или 0 < p(A) < 1 .
Для событий вводится понятие суммы и произведения.
Сумма событий A+B – это событие, которое состоит в наступлении события A или В. Произведение событий A*B состоит в одновременном наступлении события A и B .
События A и B несовместны , если они не могут наступить вместе в результате одного испытания. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей. Если А и В несовместные события, то p(A+B) = p(A) + p(B).
События A1, A2, A3, …An образуют полную группу , если в результате опыта обязательно наступит хотя бы одно из них.
Если события A1, A2, A3, …An попарно несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей p1+p2+p3+ …. pn =1.
Если они при этом ещё и равновероятны, то вероятность каждого равна p = 1/n , где n – число событий.
Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов.
Частота события – эмпирическое приближение его вероятности. Она вычисляется в результате проведения серии опытов как отношение числа опытов, в которых событие наступило к общему числу опытов. При большом числе опытов (испытаний) частота события стремится к его вероятности.
К. Шеннон, используя подход Р. Хартли, обратил внимание на то, что при передаче словесных сообщений частота (вероятность) использования различных букв алфавита не одинакова: некоторые буквы используются очень часто, другие - редко.
Рассмотрим алфавит A m состоящий из m символов. Обозначим через p i вероятность (частоту) появления i -ого символа в любой позиции передаваемого сообщения, состоящего из n символов.
Один i
– ый символ алфавита несёт количество информации равное -Log 2 (p i)
. Перед логарифмом стоит «минус» потому, что количество информации величина неотрицательная, а Log 2 (x) <0
при 0
На месте каждого символа в сообщении может стоять любой символ алфавита A m ; количество информации, приходящееся на один символ сообщения, равно среднему значению информации по всем символам алфавита A m :
Общее количество информации, содержащееся в сообщении из n символов равно:
Если все символы алфавита A m появляются с равной вероятностью, то все p i = p . Так как ∑р i = 1 , то p = 1/m.
Формула в случае, когда все символы алфавита равновероятны, принимает вид
I = n *Log 2 (m ).
Вывод : формула Шеннона в случае, когда все символы алфавита равновероятны, переходит в формулу Хартли.
В общем случае количество энтропии H произвольной системы X (случайной величины), которая может находиться в m различных состояниях x 1 , x 2 , … x m c вероятностями p 1 , p 2 , … p m , вычисленное по формуле Шеннона, равно
Напомним, что p 1 + p 2 + … +p m = 1. Если все p i одинаковы, то все состояния системы X равновероятны; в этом случае p i = 1/m , и формула переходит в формулу Хартли: H(X) = Log 2 (m).
Замечание. Количество энтропии системы (случайной величины) Х не зависит от того, в каких конкретно состояниях x 1 , x 2 , … x m может находиться система, но зависит от числа m этих состояний и от вероятностей p 1 , p 2 , … p m , с которыми система может находиться в этих состояниях. Это означает, что две системы, у которых число состояний одинаково, а вероятности этих состояний p 1 , p 2 , … p m равны (с точностью до порядка перечисления), имеют равные энтропии.
Теорема. Максимум энтропии H(X) достигается в том случае, когда все состояния системы равновероятны. Это означает, что
Если система X может находиться только в одном состоянии (m=1 ), то её энтропия равна нулю .
Рассмотрим систему, которая может принимать только два состояния x1 и x2 с вероятностями p1 и p2 :
Количество энтропии такой системы равно
H(X) = - (1/2*Log 2 (1/2)+ 1/2*Log 2 (1/2)) = -Log 2 (1/2) = Log 2 (2) = 1
Это количество принимается за единицу измерения энтропии (информации) и называется 1 бит (1 bit).
Рассмотрим функцию
h(x) = -(x*log 2 (x) + (l-x)*log 2 (l-x))
Область её определения - интервал (0 ;1) , Lim h(x) = 0 при х -> 0или х -> 1.
График этой функции представлен на рисунке:
График функции h(x) = -(x*log 2 (x) + (l-x)*log 2 (l-x))
Если обозначить x через p 1 , а (1-x) через p 2 , то p 1 + p 2 =1 ; p 1 , p 2 Î(0;1) , h(x) = H(p 1 , p 2) = - (p 1 *log 2 (p 1) + (p 2)*log 2 (p 2)) – энтропия системы с двумя состояниями; максимум H достигается при p 1 = p 2 = 0.5 .
График h(x) можно использовать при решении следующих задач:
Задача 1. Заданы три случайных величины X, Y, Z, каждая из которых принимает по два значения с вероятностями:
1. P(X = x1) = 0.5; P(X = x2) = 0.5;
2. P(Y = y1) = 0.2; P(Y = y2) = 0.8;
3. P(Z = z1) = 0.3; P(Z = z2) = 0.7 .
Запись P(X = x1) = 0.5 означает, что случайная величина X принимает значение x1 с вероятностью 0.5. Требуется расположить энтропии этих систем в порядке возрастания.
Решение .
Энтропия H(X) равна 1 и будет наибольшей;
Энтропия H(Y) равна значению функции h(x), ()при x = 0.2, т.е. H(Y)=h(0.2);
Энтропия H(Z) = h(0.3). По графику h(x) можно определить, что h(0.2) < h(0.3). Следовательно, H(Y) < H(Z) < H(X).
Замечание 1. Энтропия системы тем больше, чем менее отличаются вероятности её состояний друг от друга.
На основании этого можно сделать вывод, что H(Y) < H(Z).
Например, если для систем X и Y с тремя состояниями заданы вероятности: для X {0.4; 0.3; 0.3}, для Y {0.1; 0.1; 0.8}, то очевидно, что неопределённость системы X больше, чем неопределённость системы Y: у последней, скорее всего, будет реализовано состояние, вероятность которого равна 0.8 .
Энтропия H(X) характеризует степень неопределённости системы. Чем больше объём полученных о системе сведений, тем больше будет информации о системе, и тем менее неопределённым будет её состояние для получателя информации.
Если энтропия системы после получения информации становится равной нулю, это означает, что неопределённость исчезла, вся энтропия «перешла» в информацию. В этом случае говорят, что была получена полная информацию о системе X. Количество информации, приобретаемое при полном выяснении состояния физической системы, равно энтропии этой системы.
Если после получения некоторого сообщения неопределённость системы X стала меньше, но не исчезла совсем, то количество информации, содержащееся в сообщении, равно приращению энтропии:
I = H1(X) - H2(X),
где H1(X) и H2(X) - энтропия системы до и после сообщения, соответственно. Если H2(X) = 0, то мера неопределённости системы равна нулю и была получена полная информация о системе.
Пример . Вы хотите угадать количество очков, которое выпадет на игральном кубике. Вы получили сообщение, что выпало чётное число очков. Какое количество информации содержит это сообщение?
Решение . Энтропия системы «игральный кубик» H1 равна Log 2 6 , т.к. кубик может случайным образом принять шесть равновозможных состояний {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Полученное сообщение уменьшает число возможных состояний до трёх: {2, 4, 6}, т.е. энтропия системы теперь равна H2= Log 2 3 . Приращение энтропии равно количеству полученной информации I = H1 – H2 = Log 2 6 - Log 2 3 = Log 2 2 = 1 bit.
На примере разобранной задачи можно пояснить одно из распространённых определений единицы измерения – 1 бит: 1 бит -количество информации, которое уменьшает неопределённость состояния системы в два раза.
Неопределённость дискретной системы зависит от числа её состояний N.
Энтропия до получения информации H1= Log 2 N . Если после получения информации неопределённость уменьшилась в два раза, то это означает, что число состояний стало равным N/2, а энтропия H2 = Log 2 N/2. Количество полученной информации I= H1 -H2 = Log 2 N - Log 2 N/2 = Log 2 2 = 1 бит.
Рассмотрим несколько задач на применение формулы Шеннона и Хартли.
Задача 2. Может ли энтропия системы, которая принимает случайным образом одно из 4-х состояний, равняться: а) 3; б) 2.1 в) 1.9 г) 1; д) 0.3? Ответ объяснить.
Решение. Максимально возможное значение энтропия системы с 4-мя состояниями достигает в случае, когда все состояния равновероятны. Это значение по формуле Хартли равно Log 2 4 = 2 бита. Во всех других случаях энтропия системы с 4-мя состояниями будет меньше 2. Следовательно, возможными значениями энтропии из перечисленных выше, могут быть значения 1.9, 1, 0.3.
Задача 3. Задана функция H(x)= -x*Log 2 (x) - (1-x)*Log 2 (1-x). Расположите в порядке возрастания следующие значения: H(0.9), H(0.85), H(0.45), H(0.2), H(0.15).
Решение. Используем график функции (3.5). Наибольшим значением будет H(0.45), наименьшим значением – H(0.9), затем по возрастанию идут значения H(0.15) и H(0.85) = H(0.15); H(0.2). Ответ: H(0.9) < H(0.15)=H(0.85)< H(0.2) < H(0.45). É
Задача 4. По линии связи переданы сообщения: a) «начало_в_10»; b) «лоанча_1_в0». Сравните количество информации в первом и втором сообщении.
Решение. Первое и второе сообщение состоят из одних и тех же символов: второе получено из первого в результате перестановки этих символов. В соответствии с формулой Шеннона эти сообщения содержат одинаковое количество информации. При этом первое сообщение несёт содержательную информацию, а второе – простой набор символов. Однако, в этом случае можно сказать, что второе сообщение является «зашифрованным» вариантом первого, и поэтому количество информации в обоих сообщениях одинаковое.É
Задача 5. Получены три различных сообщения A, B, C:
A= «прибытие в десять часов»; B= «прибытие в десять часов ноль минут»; C= «прибытие ровно в десять часов». Используя энтропийный подход Шеннона, сравните количество информации, содержащееся в этих сообщениях.
Решение. Обозначим количество информации в сообщениях A, B, C через I(A), I(B), I(C) соответственно. В смысле «содержания» эти сообщения совершенно одинаковы, но одинаковое содержание выражено с помощью разного количества символов. При этом все символы сообщения А содержатся в сообщении B и С, сообщение С = A + «ровно», В = A + «ноль минут»; в соответствии с подходом Шеннона получаем: I(A) < I(C) < I(B).
В общем случае , энтропия H и количество получаемой в результате снятия неопределенности информации I зависят от исходного количества рассматриваемых вариантов N и априорных вероятностей реализации каждого из них P : {p 0 , p 1 , …p N -1 } , т.е. H =F (N , P ) . Расчет энтропии в этом случае производится по формуле Шеннона , предложенной им в 1948 году в статье "Математическая теория связи".
В частном случае , когда все варианты равновероятны , остается зависимость только от количества рассматриваемых вариантов, т.е. H =F (N ) . В этом случае формула Шеннона значительно упрощается и совпадает с формулой Хартли , которая впервые была предложена американским инженером Ральфом Хартли в 1928 году, т.е. не 20 лет раньше.
Формула Шеннона имеет следующий вид:
Знак минус в формуле (1) не означает, что энтропия – отрицательная величина. Объясняется это тем, что p i £ 1 по определению, а логарифм числа меньшего единицы - величина отрицательная. По свойству логарифма , поэтому эту формулу можно записать и во втором варианте, без минуса перед знаком суммы.
Интерпретируется как частное количество информации , получаемое в случае реализации i -ого варианта. Энтропия в формуле Шеннона является средней характеристикой – математическим ожиданием распределения случайной величины {I 0 , I 1, … I N -1 } .
Приведем пример расчета энтропии по формуле Шеннона. Пусть в некотором учреждении состав работников распределяется так: ¾ - женщины, ¼ - мужчины. Тогда неопределенность, например, относительно того, кого вы встретите первым, зайдя в учреждение, будет рассчитана рядом действий, показанных в таблице 1.
Таблица 1.
p i |
1/p i |
I i = log 2 (1/p i ), бит |
p i *log 2 (1/p i ), бит |
|
log 2 (4/3)=0,42 |
||||
å |
H=0,81 бит |
Если же априори известно, что мужчин и женщин в учреждении поровну (два равновероятных варианта), то при расчете по той же формуле мы должны получить неопределенность в 1 бит. Проверка этого предположения проведена в таблице 2.
Таблица 2.
p i |
1/p i |
I i = log 2 (1/p i ), бит |
p i *log 2 (1/p i ), бит |
|
1 /2 |
log 2 (2 )=1 |
1/2 * 1 =1/2 |
||
log 2 (2 )=1 |
1/2 * 1 =1/2 |
|||
å |
H=1 бит |
Формула Шеннона (1) совпала по форме с формулой Больцмана, полученной на 70 лет ранее для измерения термодинамической энтропии идеального газа. Эта связь между количеством информации и термодинамической энтропией послужила сначала причиной горячих дискуссий, а затем – ключом к решению ряда научных проблем. В самом общем случае энтропия понимается как мера неупорядоченности, неорганизованности материальных систем .
В соответствии со вторым законом термодинамики закрытые системы, т.е. системы лишенные возможности вещественно-энергетически-информационного обмена с внешней средой, стремятся, и с течением времени неизбежно приходят к естественному устойчивому равновесному внутреннему состоянию, что соответствует состоянию с максимальной энтропией. Закрытая система стремится к однородности своих элементов и к равномерности распределения энергии связей между ними. Т.е. в отсутствии информационного процесса материя самопроизвольно забывает накопленную информацию.Существует множество ситуаций, когда возможные события имеют различные вероятности реализации. Например, если монета несимметрична (одна сторона тяжелее другой), то при ее бросании вероятности выпадения «орла» и «решки» будут различаться.
Формулу для вычисления количества информации для событий с различными вероятностями предложил К. Шеннон в 1948 г. В этом случае количество информации определяется по формуле:
где I - количество информации;
N - количество возможных событий;
Pi - вероятности отдельных событий.
Для частного, но широко распространенного и рассмотренного выше случая, когда события равновероятны (р; = 1 / N), величину количества информации I можно рассчитать по формуле:
Задание «Бросание пирамидки». Определить количество информации, которое мы получаем в результате бросания несимметричной и симметричной пирамидок.
При бросании несимметричной четырехгранной пирамидки вероятности отдельных событий равны:
Количество информации, которое мы получим после бросания несимметричной пирамидки, можно рассчитать по формуле (2.3):
При бросании симметричной четырехгранной пирамидки вероятности отдельных событий равны между собой:
Количество информации, которое мы получим после бросания симметричной пирамидки, можно рассчитать по формуле (2.4):
Таким образом, при бросании симметричной пирамидки, когда события равновероятны, мы получим большее количество информации (2 бита), чем при бросании несимметричной пирамидки, когда события неравновероятны (1,75 бита).
Количество информации, которое мы получаем, достигает максимального значения, если события равновероятны.
В теории информации доказано, что максимальное количество информации несет сообщение, в котором вероятности появления всех знаков одинаковы.
Количество информации, которое несет знак, зависит от вероятности его получения. Если получатель заранее точно знает, какой знак придет, то полученное количество информации будет равно 0. Наоборот, чем менее вероятно получение знака, тем больше его информационная емкость.
В русской письменной речи частота использования букв в тексте различна, так, в среднем на 1000 знаков осмысленного текста приходится 200 букв «а» и в сто раз меньшее количество буквы «ф» (всего 2). Таким образом, с точки зрения теории информации информационная емкость знаков русского алфавита различна (у буквы «а» она наименьшая, а у буквы «ф» - наибольшая).
Проведем воображаемый эксперимент: пусть обезьяна передает бессмысленный текст, случайно нажимая клавиши клавиатуры компьютера (в этом случае вероятности появления знаков одинаковы), а человек передает имеющее смысл сообщение такой же длины (в этом случае вероятности появления знаков различны).
Из теории информации следует парадоксальный вывод о том, что сообщение, передаваемое обезьяной, содержит большее количество информации, чем сообщение, передаваемое человеком.
Выбор правильной стратегии в игре «Угадай число». На получении максимального количества информации строится выбор правильной стратегии в игре «Угадай число», в которой первый участник загадывает целое число (например, 3) из заданного интервала (например, от 1 до 16), а второй должен «угадать» задуманное число.
Если рассмотреть эту игру с информационной точки зрения, то начальная неопределенность знаний для второго участника составляет 16 возможных событий (вариантов загаданных чисел).
При правильной стратегии интервал чисел всегда должен делиться пополам, тогда количество возможных событий (чисел) в каждом из полученных интервалов будет одинаково и их отгадывание равновероятно. В этом случае на каждом шаге ответ первого игрока («да» или «нет») будет нести максимальное количество информации (1 бит).
Как видно из табл. 2.4, угадывание числа 3 произошло за четыре шага, на каждом из которых неопределенность знаний второго участника уменьшалась в два раза за счет получения сообщений от первого участника, содержащих 1 бит информации. Таким образом, количество информации, необходимое для отгадывания одного из 16 чисел, составило 4 бита.
Таблица 2.4
Информационная модель игры «Угадай число»
Практическое задание «Определение количества информации».
В непрозрачном мешочке хранятся 10 белых, 20 красных, 30 синих и 40 зеленых шариков. Какое количество информации будет содержать зрительное сообщение о цвете вынутого шарика?
Так как количество шариков различных цветов неодинаково, то вероятности зрительных сообщений о цвете вынутого из мешочка шарика также различаются и равны количеству шариков данного цвета, деленному на общее количество шариков:
События неравновероятны, поэтому для определения количества информации, содержащемся в сообщении о цвете шарика, воспользуемся формулой (2.3):
Для вычисления этого выражения, содержащего логарифмы, воспользуемся компьютерным калькулятором.
Контрольные вопросы
1. В каком случае количество информации, полученное о событии, достигает максимального значения?
Задания для самостоятельного выполнения
- 2.12. Какое количество вопросов достаточно задать вашему собеседнику, чтобы наверняка определить:
- ? день недели, в котором он родился?
- ? месяц, в котором он родился?
- ? число, в которое он родился?
Практикум к главе 2
Практическая работа 2.1. Перевод единиц измерения количества информации с помощью калькулятора
Практическая работа 2.2. Определение количества информации по формуле Шеннона с помощью калькулятора
Американский инженер Р. Хартли в 1928 г. процесс получения информации рассматривал как выбор одного сообщения из конечного наперёд заданного множества из N равновероятных сообщений, а количество информации I , содержащееся в выбранном сообщении, определял как двоичный логарифм N .
Формула Хартли:
I = log2N.
Допустим, нужно угадать одно число из набора чисел от единицы до ста. По формуле Хартли можно вычислить, какое количество информации для этого требуется: I = log2100 > 6,644. Таким образом, сообщение о верно угаданном числе содержит количество информации, приблизительно равное 6,644 единицы информации.
Приведем другие примеры равновероятных сообщений :
1. при бросании монеты: «выпала решка» , «выпал орел» ;
2. на странице книги: «количество букв чётное» , «количество букв нечётное» .
Определим теперь, являются ли равновероятными сообщения «первой выйдет из дверей здания женщина» и «первым выйдет из дверей здания мужчина» . Однозначно ответить на этот вопрос нельзя . Все зависит от того, о каком именно здании идет речь. Если это, например, станция метро, то вероятность выйти из дверей первым одинакова для мужчины и женщины, а если это военная казарма, то для мужчины эта вероятность значительно выше, чем для женщины.
Для задач такого рода американский учёный Клод Шеннон предложил в 1948 г. другую формулу определения количества информации, учитывающую возможную неодинаковую вероятность сообщений в наборе .
Формула Шеннона:
I = - (p 1log2p 1 + p 2 log2p 2 +... + p N log2pN ),
где pi
- вероятность того, что именно i
-е сообщение выделено в наборе из N
сообщений.
Легко заметить, что если вероятности p 1, ...,pN равны, то каждая из них равна 1/N , и формула Шеннона превращается в формулу Хартли.
Клод Шеннон определил информацию , как снятую неопределенность . Точнее сказать, получение информации - необходимое условие для снятия неопределенности. Неопределенность возникает в ситуации выбора. Задача, которая решается в ходе снятия неопределенности – уменьшение количества рассматриваемых вариантов (уменьшение разнообразия), и в итоге выбор одного соответствующего ситуации варианта из числа возможных. Снятие неопределенности дает возможность принимать обоснованные решения и действовать. В этом управляющая роль информации.
Представьте, что вы зашли в магазин и попросили продать вам жевательную резинку. Продавщица, у которой, скажем, 16 сортов жевательной резинки, находится в состоянии неопределенности. Она не может выполнить вашу просьбу без получения дополнительной информации. Если вы уточнили, скажем, - «Orbit», и из 16 первоначальных вариантов продавщица рассматривает теперь только 8, вы уменьшили ее неопределенность в два раза (забегая вперед, скажем, что уменьшение неопределенности вдвое соответствует получению 1 бита информации ). Если вы, не мудрствуя лукаво, просто указали пальцем на витрине, - «вот эту!», то неопределенность была снята полностью. Опять же, забегая вперед, скажем, что этим жестом в данном примере вы сообщили продавщице 4 бита информации.
Ситуация максимальной неопределенности предполагает наличие нескольких равновероятных альтернатив (вариантов), т.е. ни один из вариантов не является более предпочтительным. Причем, чем больше равновероятных вариантов наблюдается, тем больше неопределенность, тем сложнее сделать однозначный выбор и тем больше информации требуется для этого получить. Для N вариантов эта ситуация описывается следующим распределением вероятностей: {1/N ,1/N , …,1/N }.
Минимальная неопределенность равна 0 , т.е. эта ситуация полной определенности , означающая что выбор сделан, и вся необходимая информация получена. Распределение вероятностей для ситуации полной определенности выглядит так: {1, 0, …0}.
Величина, характеризующая количество неопределенности в теории информации обозначается символом H и имеет название энтропия , точнееинформационная энтропия .
Энтропия (H ) – мера неопределенности , выраженная в битах. Так же энтропию можно рассматривать как меру равномерности распределения случайной величины.
Рис. 3.4 Поведение энтропии для случая двух альтернатив
На рис. 3.4 показано поведение энтропии для случая двух альтернатив, при изменении соотношения их вероятностей (P , (1-P )).
Максимального значения энтропия достигает в данном случае тогда, когда обе вероятности равны между собой и равны 1/2, нулевое значение энтропии соответствует случаям (P 0=0, P 1=1) и (P 0=1, P 1=0).
Количество информации I и энтропия H характеризуют одну и ту же ситуацию, но с качественно противоположенных сторон. I – это количество информации, которое требуется для снятия неопределенности H. По определению Леона Бриллюэна информация есть отрицательная энтропия (негэнтропия ) .
Когда неопределенность снята полностью, количество полученной информации I равно изначально существовавшей неопределенности H .
При частичном снятии неопределенности, полученное количество информации и оставшаяся неснятой неопределенность составляют в сумме исходную неопределенность. Ht + It = H (рис. 3.5).
Рис. 3.5 Связь между энтропией и количеством информации
По этой причине, формулы, которые будут представлены ниже для расчета энтропии H являются и формулами для расчета количества информации I , т.е. когда речь идет о полном снятии неопределенности , H в них может заменяться на I .
В общем случае , энтропия H и количество получаемой в результате снятия неопределенности информации I зависят от исходного количества рассматриваемых вариантов N и априорных вероятностей реализации каждого из них P: {p 0,p 1, …,pN- 1}, т.е. H=F (N ,P ). Расчет энтропии в этом случае производится по формуле Шеннона , предложенной им в 1948 году в статье «Математическая теория связи».
В частном случае , когда все варианты равновероятны , остается зависимость только от количества рассматриваемых вариантов, т.е. H=F (N ). В этом случае формула Шеннона значительно упрощается и совпадает с формулой Хартли , которая впервые была предложена американским инженером Ральфом Хартли в 1928 году, т.е. на 20 лет раньше.
Формула Шеннона имеет следующий вид:
Знак минус в формуле (2.1) не означает, что энтропия – отрицательная величина. Объясняется это тем, чтоpi £ 1 по определению, а логарифм числа меньшего единицы - величина отрицательная. По свойству логарифма, поэтому эту формулу можно записать и во втором варианте, без минуса перед знаком суммы.
Выражение интерпретируется как частное количество информации It , получаемое в случае реализации i -ого варианта. Энтропия в формуле Шеннона является средней характеристикой – математическим ожиданием распределения случайной величины {I 0,I 1, …,I N- 1}.
Приведем пример расчета энтропии по формуле Шеннона. Пусть в некотором учреждении состав работников распределяется так: 3/4 - женщины, 1/4 - мужчины. Тогда неопределенность, например, относительно того, кого вы встретите первым, зайдя в учреждение, будет рассчитана рядом действий, показанных в табл. 3.1.
Таблица 3.1
pi | 1/pi | Ii= log2(1/pi ),бит | pi* log2(1/pi ),бит | |
Ж | 3/4 | 4/3 | log2(4/3)=0,42 | 3/4 * 0,42=0,31 |
М | 1/4 | 4/1 | log2(4)=2 | 1/4 * 2=0,5 |
å | H= 0,81бит |
Мы уже упоминали, что формула Хартли – частный случай формулы Шеннона для равновероятных альтернатив.
Подставив в формулу (2.1) вместо pi его (в равновероятном случае не зависящее от i )значение, получим:
Таким образом, формула Хартли выглядит очень просто:
Из нее явно следует, что чем больше количество альтернатив (N ), тем больше неопределенность (H ). Логарифмирование по основанию 2 приводит количество вариантов к единицам измерения информации – битам. На рис.3.6 представлена зависимость энтропии от количества равновероятных вариантов выбора.
Рис. 3.6 Зависимость энтропии от количества равновероятных вариантов выбора (равнозначных альтернатив)
Для решения обратных задач, когда известна неопределенность (H ) или полученное в результате ее снятия количество информации (I ) и нужно определить какое количество равновероятных альтернатив соответствует возникновению этой неопределенности, используют обратную формулу Хартли, которая выглядит еще проще:
Например, если известно, что в результате определения того, что интересующий нас Коля Иванов живет на втором этаже, было получено 3 бита информации, то количество этажей в доме можно определить по формуле (2.3), как N= 23= 8этажей.
Если же вопрос стоит так: «В доме 8 этажей, какое количество информации мы получили, узнав, что интересующий нас Коля Иванов живет на втором этаже?», нужно воспользоваться формулой (2.2): I = log2(8) = 3 бита.
До сих пор мы приводили формулы для расчета энтропии (неопределенности) H , указывая, что H в них можно заменять на I , потому что количество информации, получаемое при полном снятии неопределенности некоторой ситуации, количественно равно начальной энтропии этой ситуации.
Но неопределенность может быть снята только частично, поэтому количество информации I , получаемой из некоторого сообщения, вычисляется как уменьшение энтропии, произошедшее в результате получения данного сообщения .
Для равновероятного случая , используя для расчета энтропии формулу Хартли, получим:
Второе равенство выводится на основании свойств логарифма. Таким образом, в равновероятном случае I зависит от того, во сколько раз изменилось количество рассматриваемых вариантов выбора (рассматриваемое разнообразие).
Исходя из (3.5) можно вывести следующее:
Если, то - полное снятие неопределенности, количество полученной в сообщении информации равно неопределенности, которая существовала до получения сообщения.
Если, то - неопределенности не изменилась, следовательно, информации получено не было.
Если, то => ,
если, то => .
Т.е. количество полученной информации будет положительной величиной, если в результате получения сообщения количество рассматриваемых альтернатив уменьшилось, и отрицательной, если увеличилось.
Если количество рассматриваемых альтернатив в результате получения сообщения уменьшилось вдвое, т.е., то I =log2(2)=1бит. Другими словами, получение 1 бита информации исключает из рассмотрения половину равнозначных вариантов.
Рассмотрим в качестве примера опыт с колодой из 36 карт (рис.3.7).
Рис. 3.7 Иллюстрация к опыту с колодой из 36-ти карт
Пусть некто вынимает одну карту из колоды. Нас интересует, какую именно из 36 карт он вынул. Изначальная неопределенность, рассчитываемая по формуле (3.2), составляет H= log2(36)@5,17бит . Вытянувший карту сообщает нам часть информации. Используя формулу (3.5), определим, какое количество информации мы получаем из этих сообщений:
Вариант A. “Это карта красной масти”.
I =log2(36/18)=log2(2)=1бит (красных карт в колоде половина, неопределенность уменьшилась в 2 раза).
Вариант B. “Это карта пиковой масти”.
I =log2(36/9)=log2(4)=2 бита (пиковые карты составляют четверть колоды, неопределенность уменьшилась в 4 раза).
Вариант С. “Это одна из старших карт: валет, дама, король или туз”.
I =log2(36)–log2(16)=5,17-4=1,17 бита (неопределенность уменьшилась больше чем в два раза, поэтому полученное количество информации больше одного бита).
Вариант D. “Это одна карта из колоды".
I =log2(36/36)=log2(1)=0 бит (неопределенность не уменьшилась - сообщение не информативно).
Вариант E. “Это дама пик".
I =log2(36/1)=log2(36)=5,17 бит (неопределенность полностью снята).
Задача 1. Какое количество информации будет содержать зрительное сообщение о цвете вынутого шарика, если в непрозрачном мешочке находится 50 белых, 25 красных, 25 синих шариков?
Решение .
1) всего шаров 50+25+25=100
2) вероятности шаров 50/100=1/2, 25/100=1/4, 25/100=1/4
3)I = -(1/2 log21/2 + 1/4 log21/4 + 1/4 log21/4) = -(1/2(0-1) +1/4(0-2) +1/4(0-2)) = =1,5 бит
Задача 2. В корзине лежит 16 шаров разного цвета. Сколько информации несет сообщение, что достали белый шар?
Решение . Т.к. N = 16 шаров, то I = log2 N = log2 16 = 4 бит.
Задача 3. В корзине лежат черные и белые шары. Среди них18 черных шаров. Сообщение о том, что достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего шаров в корзине?
1) 18 2) 24 3) 36 4)48
Решение . Найдем по формуле Шеннона вероятность получения белого шара: log2N=2, N=4, следовательно, вероятность получения белого шара равна 1/4 (25%), а вероятность получения черного шара соответственно 3/4(75%). Если 75% всех шариков черные, их количество 18, тогда 25% всех шариков белые, их количество (18*25)/75=6.
Осталось найти количество всех шариков в корзине 18+6=24.
Ответ: 24 шарика.
Задача 4. В некоторой стране автомобильный номер длиной 5 символов составляется из заглавных букв (всего используется 30 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 50 автомобильных номеров.
1) 100 байт 2) 150 байт 3) 200 байт 4)250 байт
Решение . Количество символов используемых для кодирования номера составляет: 30 букв + 10 цифр = 40 символов. Количество информации несущий один символ равен 6 бит (2I=40, но количество информации не может быть дробным числом, поэтому берем ближайшую степень двойки большую количества символов 26=64).
Мы нашли количество информации, заложенное в каждом символе, количество символов в номере равно 5, следовательно, 5*6=30 бит. Каждый номер равен 30 битам информации, но по условию задачи каждый номер кодируется одинаковым и минимально возможным количеством байт, следовательно, нам необходимо узнать, сколько байт в 30 битах. Если разделить 30 на 8 получится дробное число, а нам необходимо найти целое количество байт на каждый номер, поэтому находим ближайший множитель 8-ки, который превысит количество бит, это 4 (8*4=32). Каждый номер кодируется 4 байтами.
Для хранения 50 автомобильных номеров потребуется: 4*50=200 байт.
Выбор оптимальной стратегии в игре «Угадай число». На получении максимального количества информации строится выбор оптимальной стратегии в игре «Угадай число», в которой первый участник загадывает целое число (например, 3) из заданного интервала (например, от 1 до 16), а второй - должен «угадать» задуманное число. Если рассмотреть эту игру с информационной точки зрения, то начальная неопределенность знаний для второго участника составляет 16 возможных событий (вариантов загаданных чисел).
При оптимальной стратегии интервал чисел всегда должен делиться пополам, тогда количество возможных событий (чисел) в каждом из полученных интервалов будет одинаково и отгадывание интервалов равновероятно. В этом случае на каждом шаге ответ первого игрока («Да» или «Нет») будет нести максимальное количество информации (1 бит).
Как видно из табл. 1.1, угадывание числа 3 произошло за четыре шага, на каждом из которых неопределенность знаний второго участника уменьшалась в два раза за счет получения сообщения от первого участника, содержащего 1 бит информации. Таким образом, количество информации, необходимое для отгадывания одного из 16 чисел, составило 4 бита.
Контрольные вопросы и задания
1. Априори известно, что шарик находится в одной из трех урн: А, В или С. Определите, сколько бит информации содержит сообщение о том, что он находится в урне В.
Варианты: 1бит, 1,58бита, 2бита, 2,25бита.
2. Вероятность первого события составляет 0,5, а второго и третьего 0,25. Чему для такого распределения равна информационная энтропия. Варианты: 0,5бита, 1 бит, 1,5бита, 2бита, 2,5бита, 3бита.
3. Вот список сотрудников некоторой организации:
Определите количество информации, недостающее для того, чтобы выполнить следующие просьбы:
Пожалуйста, позовите к телефону Иванову.
Меня интересует одна ваша сотрудница, она 1970 года рождения.
4. Какое из сообщений несет больше информации:
· В результате подбрасывания монеты (орел, решка) выпала решка.
· На светофоре (красный, желтый, зеленый) сейчас горит зеленый свет.
· В результате подбрасывания игральной кости (1, 2, 3, 4, 5, 6) выпало 3 очка.