В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)
Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.
В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.
Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.
Попробуем считать в двоичной системе:
0 – это ноль
1 – это один (и это предел разряда)
10 – это два
11 – это три (и это снова предел)
100 – это четыре
101 – пять
110 – шесть
111 – семь и т.д.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную
Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.
В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:
1476 = 1000 + 400 + 70 + 6
1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0
Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.
Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:
10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0
1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137
Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:
10001001 2 = 137 10
Почему двоичная система счисления так распространена?
Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.
Перевод десятичного числа в двоичное
Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:
77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)
Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:
1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77
Вспомним материал по системам счисления. В нём говорилось, что наиболее удобной системой счисления для компьютерных систем является двоичная система. Дадим определение этой системе:
Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления, у которой основанием является число 2.
Для записи любого числа в двоичной системе счисления используются всего лишь 2 цифры: 0 и 1.
Общая форма записи двоичных чисел
Для целых двоичных чисел можно записать:
a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 =a n−1 ⋅2 n−1 +a n−2 ⋅2 n−2 +...+a 0 ⋅2 0
Данная форма записи числа «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: требуется вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.
Правила сложения двоичных чисел
Основные правила сложения однобитовых чисел
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Отсюда видно, что и, как и в десятичной системе счисления, числа, представленные в двоичной системе счисления, складывают поразрядно. Если разряд переполняется, единица переносится в следующий разряд.
Пример сложения двоичных чисел
Правила вычитания двоичных чисел
0-0=0
1-0=0
10-1=1
Но как быть с 0-1=? Вычитание двоичных чисел немного отличается от вычитания десятичных чисел. Для этого используется несколько способов.
Вычитание методом заимствования
Запишите двоичные числа друг под другом – меньшее число под большим. Если меньшее число имеет меньше цифр, выровняйте его по правому краю (так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании).
Некоторые задачи на вычитание двоичных чисел ничем не отличаются от вычитания десятичных чисел. Запишите числа друг под другом и, начиная справа, найдите результат вычитания каждой пары чисел.
Вот несколько простых примеров:
1 - 0 = 1
11 - 10 = 1
1011 - 10 = 1001
Рассмотрим более сложную задачу. Вы должны запомнить только одно правило, чтобы решать задачи на вычитание двоичных чисел. Это правило описывает заимствование цифры слева, чтобы вы могли вычесть 1 из 0 (0 - 1).
110 - 101 = ?
В первом столбце справа вы получаете разность 0 - 1 . Для ее вычисления необходимо позаимствовать цифру слева (из разряда десятков).
Во-первых, зачеркните 1 и замените ее на 0, чтобы получить такую задачу: 1010 - 101 = ?
Вы вычли («позаимствовали») 10 из первого числа, поэтому вы можете написать это число вместо цифры, стоящей справа (в разряд единиц). 101100 - 101 = ?
Вычтите цифры в правом столбце. В нашем примере:
101100 - 101 = ?
Правый столбец: 10 - 1 = 1 .
102 = (1 x 2) + (0 x 1) = 210 (цифры нижнего регистра обозначают систему счисления, в которой записаны числа).
12 = (1x1) = 110.
Таким образом, в десятичной системе эта разность записывается в виде: 2 - 1 = 1.
Вычтите цифры в оставшихся столбцах. Теперь это легко сделать (работайте со столбцами, двигаясь, справа налево):
101100 - 101 = __1 = _01 = 001 = 1.
Вычитание методом дополнения
Запишите двоичные числа друг под другом так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании. Этот метод используется компьютерами для вычитания двоичных чисел, так как он основан на более эффективном алгоритме.
Рассмотрим пример: 101100 2 - 11101 2 = ?
Если значность чисел разная, к числу с меньшей значностью слева припишите соответствующее количество 0.
101100 2 - 011101 2 = ?
В вычитаемом числе поменяйте цифры: каждую 1 поменяйте на 0, а каждый 0 на 1.
011101 2 → 100010 2 .
На самом деле мы «забираем дополнение у единицы», то есть вычитаем каждую цифру из 1. Это работает в двоичной системе, так как у такой «замены» может быть только два возможных результата: 1 - 0 = 1 и 1 - 1 = 0 .
К полученному вычитаемому прибавьте единицу.
100010 2 + 1 2 = 100011 2
Теперь вместо вычитания сложите два двоичных числа.
101100 2 +100011 2 = ?
Проверьте ответ. Быстрый способ – откройте двоичный онлайн калькулятор и введите в него вашу задачу. Два других метода подразумевают проверку ответа вручную.
1) Переведем числа в двоичную систему счисления:
Допустим, что из числа 101101 2 нужно вычесть 11011 2
2) Обозначим как A число 101101 2 и как B число 11011 2 .
3) Запишем числа A и B столбиком, одно под другим, начиная с младших разрядов (нумерация разрядов начинается с нуля).
4) Вычтем разряд за разрядом из числа A число B записывая результат в C начиная с младших разрядов. Правила поразрядного вычитания, для двоичной системы счисления представлены в таблице ниже.
Заем |
Заем |
|||
Весь процесс сложения наших чисел выглядит следующим образом:
(красным шрифтом показаны заёмы из соответствующего разряда)
Получилось 101101 2 - 11011 2 = 10010 2
или в десятичной системе счисления: 45 10 - 27 10 = 18 10
Правила умножения двоичных чисел.
В целом эти правила очень просты и понятны.
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит точно также как и обычных. Каждое значащий разряд умножаем на верхнее число по приведенным правилам, соблюдая позиции. Умножать просто - так как умножение на единицу даёт одно и тоже число.
Бубнова Елизавета
Реферат по теме "Применение двоичной системы счисления" (книга Перемен, азбука Морзе, штрих-коды и компьютерная техника)
Скачать:
Предварительный просмотр:
Министерство образования и науки
Новые применения двоичной системы счисления
Выполнила:
ученица 8 класса
школы №111
Бубнова Елизавета
Руководитель:
Иванова Ю.Н.
учитель математики
Барнаул - 2013
- Введение……………………………………………………………………….3
- Понятие систем счисления…………………………………………………...4
- Двоичная система счисления……………………………………………..….7
- Применение двоичной системы счисления……………………………..…..8
- Заключение…………………………………………………………………..12
- Список литературы………………………………………………………….13
Введение
Тема «Системы счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел. Однако в школьном курсе математике она, как правила, не изучается. Необходимость изучения этой темы в курсе информатики связана с тем фактом, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную систему счисления. Являясь смежной с математикой, данная тема вносит вклад в фундаментальной математическое школьное образование. Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений младшеклассника, выполняемых карандашом на бумаге, кончая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах. В работе изложена и занимательно описана одна из наиболее популярных систем счисления - двоичная, а также ее применения, как старые, так и новые, как забавные, так и серьёзные. Объект исследования – системы счисления. Г лавное достоинство двоичной системы - простота алгоритмов сложения, вычитания умножения и деления. Изучение двоичной системы счисления, которая используется в компьютерах, важно для понимания того, каким образом производится обработка числовых данных в ЭВМ. Поэтому данная тема является актуальной.
Предметом исследования является двоичная система счисления.
Целью исследования является – рассмотрение применений двоичной системы счисления в жизни.
Задачи исследования:
- Рассмотреть понятие систем счисления и их виды
- Изучить двоичную систему счисления, выделить ее достоинства;
- Рассмотреть применение двоичной системы счисления в жизни человека и в компьютерной технике.
Методы исследования:
- Анализ и синтез;
- Сравнение.
Понятие систем счисления
Понятие «число» является ключевым как для математики, так и для информатики. Люди всегда считали и записывали числа, даже 5 тысяч лет назад. Но записывали их по другим правилам, хотя в любом случае число изображалось с помощью любого или нескольких символов, которые назывались цифрами.
Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр – от 0 до 9. Это десятичная система счисления.
Системой счисления мы будем называть способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.
Системы счисления делятся на различные группы:
Анатомического происхождения: д есятеричная, пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная.
Алфавитные: д ревнеармянская, древнегрузинская, древнегреческая, ионическая, славянская.
Машинные: д воичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
Прочие: Р имская, Вавилонская, Египетская нумерация, Китайская нумерация и другие.
Также различают позиционные и непозиционные системы счисления .
Непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления значение числа определяется как сумма или разность цифр в числе. В непозиционных системах счисления считать трудно. Древние греки построили геометрию, которую сегодня изучают в школе, доказали важные теоремы теории чисел, но считать они не умели.
Примеры непозиционных систем счисления:
1. У многих народов использовалась система, алфавит которой состоял из одного символа – палочки. Для изображения какого-то числа в этой системе нужно записать определенное множество палочек, равное данному числу: ||||| – число пять.
2. Египтяне применяли для записи чисел иероглифы. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10 , нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Если штрихов нужно изобразить несколько, то их объединяли в группы из трех или четырех черт и изображали в несколько рядов, причем в нижнем должно быть столько же штрихов сколько и в верхнем, или на одну больше.
Для обозначения числа 10 , основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку.
Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100 , они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1 000 , египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона.
1 000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 | 10 000 000 |
Рис 3. Египетская система счисления
Самым распространенным примером непозиционной системы счисления является римская система счисления
Рис 4. Римская система счисления
Позиционные системы счисления. Позиционной называется такая система счисления, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.
Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749- 1827) такими словами оценил "открытие" позиционной системы счисления: "Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения но форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна".
Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Н апример, число 59 в данной системе записывается следующим образом:
Т.е. 59 = 5 · 10 + 9 .
Запись чисел в позиционных системах счисления осуществляется следующим образом: множество цифр, используемых для записи чисел в позиционных системах счисления, образует алфавит. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе – позиция . Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой форме записи числа.
Основание (n) | Название | Алфавит |
двоичная | 0, 1 |
|
троичная | 0, 1, 2 |
|
пятеричная | 0, 1, 2, 3, 4 |
|
восьмеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
|
n=10 | десятичная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
n=16 | шестнадцатеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
Основные достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любого числа.
Двоичная система счисления
Двоичная система счисления - система счисления, построенная на позиционном принципе записи чисел, с использованием только двух знаков - цифр 0 и 1. Главное достоинство двоичной системы - простота алгоритмов сложения, вычитания умножения и деления. Таблица умножения в ней совсем не требует ничего запоминать: ведь любое число, умноженное на нуль равно нулю, а умноженное на единицу равно самому себе. И при этом никаких переносов в следующие разряды, а они есть даже в троичной системе. Таблица деления сводится к двум равенствам 0/1 = 0, 1/1 = 1, благодаря чему деление столбиком многозначных двоичных чисел делается гораздо проще, чем в десятичной системе, и по существу сводится к многократному вычитанию.
Таблица сложения, как ни странно, чуть сложнее, потому что 1+1 = 10 и возникает перенос в следующий разряд. В общем виде операцию сложения однобитовых чисел можно записать в виде x+y = 2w+v, где w, v - биты результата. Внимательно посмотрев на таблицу сложения, можно заметить, что бит переноса w - это просто произведение xy, потому что он равен единице лишь когда x и y равны единице. А вот бит v равен x+y, за исключением случая x = y = 1, когда он равен не 2, а 0. Операцию, с помощью которой по битам x, y вычисляют бит v, называют по-разному. Мы будем использовать для неё название «сложение по модулю 2» и символ. Таким образом, сложение битов выполняется фактически не одной, а двумя операциями.
Если отвлечься от технических деталей, то именно с помощью этих операций и выполняются все операции в компьютере.
Для выполнения сложения однобитовых чисел делают обычно даже специальный логический элемент с двумя входами x, y и двумя выходами w, v, как бы составленный из элемента умножения (его часто называют конъюнкцией, чтобы не путать с умножением многозначных чисел) и элемента сложения по модулю 2. Этот элемент часто называют полусумматором.
Применения двоичной системы счисления
1. «Книга перемен»
Двоичная система по существу была известна в Древнем Китае. В классической книге «И цзин» («Книга перемен») приведены так называемые «гексаграммы Фу-си», первая из которых имеет вид , а последняя (64-я) – вид , причем они расположены по кругу и занумерованы в точном соответствии с двоичной системой (нулями и единицами соответствуют сплошные и прерывистые линии). Китайцы не поленились придумать для этих диаграмм специальные иероглифы и названия (например, первая из них называлась «кунь», а последняя – «цянь», сплошной линии сопоставляется мужское начало янь, а прерывистой линии – женское начало инь).
Каждая гексаграмма состоит из двух триграмм (верхней и нижней), им тоже соответствуют определенные иероглифы и названия. Например, триграмме из трех сплошных линий сопоставлен образ-атрибут «небо, творчество», а триграмме из трех прерывистых линий сопоставлен образ-атрибут «земля, податливость, восприимчивость».
2. Азбука Морзе
Сэмюель Морзе – изобретатель азбуки, но его самое главное достижение – изобретение телеграфа (а азбука Морзе понадобилась ему для использования телеграфа). Точка и тире оказались самыми элементарными символами, которые мог передавать его телеграф. Они соответствовали коротким и длинным импульсам электрического тока, передаваемым по телеграфным проводам. Длина импульса определялась нажатием руки телеграфиста на ключ телеграфа. Прием сигнала осуществляло реле, которое после появления в нем импульса тока включало электромагнит, который либо заставлял стучать молоточек, либо прижимал колесико с красящей лентой к бумажной ленте, на которой отпечатывались либо точка, либо тире в зависимости от длины импульса.
Азбука Морзе сопоставляет каждой букве алфавита последовательность из точек и тире. Естественней всего использовать такие последовательности длины 6, их всего 64 и хватит даже на русский алфавит. Но Морзе понимал, что длину сообщения желательно уменьшить, насколько возможно, поэтому он решил использовать последовательности длины не более 4, их всего 2 + 4 + 8 + 16 = 30. в русском алфавите пришлось не использовать буквы «э» и «ё» и отождествить мягкий и твердый знаки. Кроме того, наиболее часто используемых буквами он предложил давать самые короткие коды, чтобы уменьшить среднюю длину передаваемого сообщения.
3. Штрих-коды
Примером применения двоичного кодирования в современной технике служат штрих-коды. В супермаркетах на упаковках товаров можно увидеть штрих-код. Для чего он нужен, и как его прочитать?
Нужен он только для автоматического занесения информации в кассовый аппарат. Сам штрих-код состоит из тридцати черных полос переменой толщины, разделенной промежутками тоже переменой толщины. Толщина полос может принимать четыре значения – от самой тонкой до самой толстой. Такую же толщину могут иметь и промежутки. Когда по сканеру проводят штрих-кодом, он воспринимает каждую черную полоску как последовательность единиц длины от одной до четырех и также воспринимает промежутки между полосами, но при этом вместо единиц сканер видит нули. Полностью весь штрих-код сканер воспринимает как последовательность из 95 цифр 0 или 1 (их давно уже принято называть битами). Что же содержит этот код? Он кодирует 13-разрядное десятичное число, совершенно открыто написанное под самим штрих-кодом. Если сканер не смог распознать штрих-код, то это число кассир вводит в аппарат вручную. Штрих-код нужен лишь для облегчения распознавания сканером изображения. Распознавать цифры, к тому же повернутые боком, может только сложная программа распознавания на универсальном компьютере, да и то не очень надежно, а не кассовый аппарат.
Рис 5. Расшифровка штрих-кода
Какую же информацию содержит это 13-значное число? Этот вопрос к математике никакого отношения не имеет. Первые две цифры задают страну – производителя товара. Следующие пять цифр – это код производитель, а следующие пять цифр – код самого продукта в принятой этим производителем кодировке. Последняя цифра – это код проверки. Он однозначно вычисляется по предыдущим 12 цифрам, следующим образом. Нужно сложить все цифры с нечетными номерами, утроить сумму, к ней прибавить сумму оставшихся цифр, а полученный результат вычесть из ближайшего кратного 10 числа.
4. Компьютерная техника и информационные технологии
Столь привычная для нас десятичная система оказалась неудобной для ЭВМ. Если в механических вычислительных устройствах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить элемент с множеством состояний (колесо с девятью зубьями), то в электронных машинах надо было бы иметь 10 различных потенциалов в цепях. Наиболее просто реализуется элементы с двумя состояниями - триггеры. Поэтому естественным был переход на двоичную систему. В этой системе всего две цифры - 0 и 1 . Каждая цифра называется двоичной (от английского binary digit - двоичная цифра). Сокращение от этого выражения привело к появлению термина бит, ставшего названием разряда двоичного числа.
Бит - это минимальная единица измерения информации (0 mini). За битом следует байт, состоящий из восьми бит, затем килобайт (кбайт) - 1024 байта, мегабайт (мбайт) - 1024 кбайта, гигобайт (гбайт) - 1024мбайт.
В компьютере для представления информации используется двоичное кодирование, так как удалось создать надежные работающие технические устройства, которые могут со стопроцентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний (цифр). Все виды информации в компьютере кодируются на машинном языке, в виде логических последовательностей нулей и единиц.
Целые числа в компьютере хранятся в ячейках памяти, в этом случае каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа.
Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти, состоящая из восьми бит.
Начиная с конца 60-х годов, компьютеры все больше использовать для обработки текстовой информации и в настоящее время большая часть компьютеров в мире занято именно обработкой текстовой информации.
Традиционно для кодирования одного символа используется количество информации равное 1 байту, то есть 8 бит. Если рассматривать символы как возможные события, то получаем, что количество различных символов, которые можно закодировать, будет равно 256. Такое количество символов вполне достаточно для представления текстовой информации, включая прописные и строчные буквы русского и латинского алфавитов, а так же цифры, знаки препинания и математических операций, графические символы и так далее. Но способов построения таких кодов очень много, рассмотрим один из них:
Алфавитное неравномерное двоичное кодирование
При алфавитном способе двоичного кодирования символы некоторого первичного алфавита (например, русского) кодируются комбинациями символов двоичного алфавита (т.е. 0 и 1), причем, длина кодов и, соответственно, длительность передачи отдельного кода, могут различаться. Оптимизировать кодирование можно за счет суммарной длительности сообщения. Суммарная длительность сообщения будет меньше, если применить следующий подход: чем буква первичного алфавита, встречается чаще, то присваиваем ей более короткой по длине код. Следовательно, коды букв, вероятность появления которых в сообщении выше, следует строить из возможно меньшего числа элементарных сигналов.
Возможны различные варианты двоичного кодирования, при этом важно, чтобы закодированное сообщение могло быть однозначно декодировано , т.е. чтобы в последовательности 0 и 1, которая представляет собой многобуквенное кодированное сообщение, всегда можно было бы различить обозначения отдельных букв.
Рассмотрим пример построения двоичного кода для символов русского алфавита:
Заключение
В данной работе мы
- рассмотрели понятие систем счисления, выделили их виды,
- рассмотрели двоичную систему счисления;
- выделили применения двоичной системы счисления в жизни человека.
Двоичная система счисления удобна в использовании, что доказывают разнообразные сферы ее применения. В данной работе рассмотрены не все сферы применения двоичной системы счисления и работа в данной области может быть продолжена.
Список используемой литературы
1. Занимательные материалы по математике. 7 – 8 классы. / Составитель Галаева Е.А. – Волгоград: Издательско-торговый дом «Корифей», 2006. – 80 с.
2. Системы счисления и их применение. (Серия: «Библиотека «Математическое просвещение»») / Гашков С.Б. – Москва: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2004. – 52 с., ил.
3. Раздел информатика, 2001 – 2007. Теле - школа. Интернет – школа «Просвещение.ru»
4. Биографический словарь деятелей в области математики. / Бородин А.И., Бугай А.С. – Киев: «Радянська школа», 1979.
5. Системы счисления. – 5-е издание. / Фомин С.В. - Москва: «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1987. – 48 с. – (Популярные лекции по математике).
Введение………………………………………………………………………………
I. Понятие двоичной системы счисления…………………………………………………………………..
1.1. История двоичной системы счисления
1.2. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную
1.3. Перевод десятичного числа в двоичное
II. Почему удобна двоичная система? ………………………………………………
2.1. Достоинства двоичной системы
2.2. Недостатки двоичной системы
Заключение …………………………………………………………………………..
Библиографический список………………………………………………………....
Введение:
Кто стоит у истоков двоичной системы счисления, как давно и где ее начали применять, почему двоичная система счисления сохранилась до наших дней.
Понятие «число» является ключевым как для математики, так и для информатики. Люди всегда считали и записывали числа, даже 5 тысяч лет назад. Но записывали их по другим правилам, хотя в любом случае число изображалось с помощью любого или нескольких символов, которые назывались цифрами.
Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр – от 0 до 9. Это десятичная система счисления.
Системой счисления мы будем называть способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.
Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук – вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен. Древнее написание десятичных цифр:
Понятие двоичной системы счисления.
Двоичная система счисления - позиционная система счисления с основанием два. (Позиционная система счисления (позиционная нумерация) - система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).
История двоичной системы счисления.
Мысль о двоичной системе принадлежит Лейбницу, который полагал, что при трудных исследованиях в теории чисел она может иметь большие преимущества перед десятичной системой. Кроме того, при всяких арифметических операциях действия над числами, написанными в бинарной системе, облегчаются в высшей степени. Иезуит Буве (Bouvet), миссионер в Китае, которому Лейбниц писал о своём изобретении, сообщил ему, что в Китае существует загадочная надпись, которую можно вполне объяснить бинарной системой. Надпись эта, которую приписывают императору Фо-ги, жившему в 25 веке до н. э., основателю Китайской империи, покровителю наук и искусств, не могла быть объяснена китайскими учёными, которые считали её не имеющей смысла. Она состоит из ряда длинных и коротких чёрточек. Если принять, что длинная черта означает 1, а короткая 0, то вся надпись оказывается просто рядом натуральных чисел, написанных по двоичной системе. Вот эта надпись:
Двоичная система счисления оказалась удобной для использования в ЭВМ. Использование двоичной системы оказалось наиболее эффективным в электронных схемах: цифры 0 и 1 удобно кодировать уровнями напряжения, соответствующим напряжению на шинах питания, „0“ и „+V“ ; использование большего количества уровней привело бы к усложнению схем. Хотя были прецеденты создания и троичных ЭВМ.
В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)
Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.
В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.
Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.
0 – это ноль
1 – это один (и это предел разряда)
10 – это два
11 – это три (и это снова предел)
100 – это четыре
101 – пять
110 – шесть
111 – семь и т.д.
1.3. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную:
1. 10001001 = 1*2^{7} + 0*2^{6} + 0*2^{5} + 0*2^{4} + 0*2^{3} + 0*2^{2} + 0* 2^{1} + 0*2^{0} = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137
Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:
10001001_{2} = 137_{10}
2. 1011_{2} = 1*2^3 + 0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=11_{10}
3. 10101010_{2} = 1*2^{7} + 0*2^{6} + 1*2^{5} + 0*2^{4} + 1*2^{3} + 0*2^{2} + 1*2^{1} + 0*2^{0} = 128 + 32 +8 + 2 = 170_{10}
4. 101101_{2} = 1*2^{5} + 0*2^{4} + 1*2^{3} + 1*2^{2} + 0*2^{1} + 1*2^{0} = 63_{10}
5. 100,101_{2} = 1*2^{2} +0*2^{1} + 0*2^{0} + 1*2^{-1} + 0*2^{-2} + 1*2^{-3} = 4 + 2 = 6Элементы оглавления не найдены. _{10}
6. 111101_{2} = 1*2^{5} + 1*2^{4} + 1*2^{3} + 1*2^{2} + 0*2^{1} + 1*2^{0} = 32 +16 + 13 = 61_{10}
7. 1001_{2} = 1*2^{3} + 0*2^{2} + 0*2^{1} + 1*2^{0} = 9
8. 10011,1_{2} = 1*2^{4} + 0*2^{3} + 0*2^{2} + 1*2^{1} + 1*2^{0} + 1*2^{-1} = 19,5
9. 11101,11_{2} = 1*2^{5} + 1*2^{4} + 1*2^{3} + 0*2^{1} +1*2^{0} + 1*2^{-1} = 57,5
10. 100111 = 1*2^{5} + 0*2^{4} + 0*2^{3} +1*2^{2} + 1*2^{1} + 1*2^{0} = 39
1.4. Перевод десятичного числа в двоичное:
Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:
77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)
Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:
1. 1001101_{10} = 1*2^{6} + 0*2^{5} + 0*2^{4} + 1*2^{3} + 1*2^{2} + 0*2^{1} + 1*2^{0} = 64 + 8 + 5 = 77_{2}
2. 49_{10} = \dfrac{ 49 } { 2 } = 110001_{2}
3. 15_{10} = \dfrac{ 49 } { 2 } = 1111_{2}
4. 31_{10} = \dfrac{ 31 } { 2 } = 11111_{2}
5. 0,45_{10} = \dfrac{ 0,45 } { 2 } = 0,11100_{2}
6. 95_{10} = \dfrac{ 95 } {2 } = 1011111_{2}
7. 102_{10} = \dfrac{102 } { 2 } = 1100110_{2}
8. 58_{10} = \dfrac{ 58 } { 2 } = 110100_{2}
9. 4956_{10} = \dfrac{ 4956 } { 2 } = 101101011100_{2}
10. 125_{10} = \dfrac{ 125 } { 2 } = 10111101_{2}
2. Почему удобна двоичная система?
Стоит отметить, что двоичная система издавна была предметом пристального внимания ученых. Официальное рождение двоичной системы счисления связано с именем Г.В.Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами. Во время работы ЭВМ постоянно происходит преобразование чисел из десятичной системы счисления в двоичную, и наоборот. Да и человеку, имеющему дело с ЭВМ, часто приходится прибегать к преобразованиям чисел.
Вот, что писал Лаплас об отношении великого немецкого математика Г.В. Лейбница к двоичной (бинарной) системе: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытиё и что высшее существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа».
Главное достоинство двоичной системы – простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления. Таблица умножения в ней совсем не требуется ничего запоминать, ведь любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а умноженное на единицу равно самому себе. И при этом никаких переносов в следующие разряды, а они есть даже в троичной системе счисления.
Если отвлечься от технических деталей, то именно с помощью этих операций и выполняются все операции в компьютере, так как удалось создать надежно работающие технические устройства, которые могут со 100 процентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний (цифр):
Электромагнитные реле (замкнуто/разомкнуто), широко использовались в конструкциях первых ЭВМ;
Участок поверхности магнитного носителя информации (намагничен/ размагничен);
Участок поверхности лазерного диска (отражает/не отражает);
Триггер, может устойчиво находиться в одном из двух состояний, широко используется в оперативной памяти компьютера.
Утверждение двоичной арифметики в качестве общепринятой при конструкции ЭВМ с программным управлением состоялось под влиянием работы Дж. фон Неймана о проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой. Работа написана в 1946 году.
2.1. Достоинства двоичной системы счисления:
1. Достоинства двоичной системы счисления заключаются в простоте реализации процессов хранения, передачи и обработки информации на компьютере.
2. Для ее реализации нужны элементы с двумя возможными состояниями, а не с десятью.
3. Представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво.
4. Возможность применения алгебры логики для выполнения логических преобразований.
5. Двоичная арифметика проще десятичной.
2.2. Недостатки двоичной системы счисления:
1. Итак, код числа, записанного в двоичной системе счисления представляет собой последовательность из 0 и 1. Большие числа занимают достаточно большое число разрядов.
2. Быстрый рост числа разрядов - самый существенный недостаток двоичной системы счисления.
3.1. Заключение:
В ходе изучения данной темы мы выяснили, что двоичная система счисления намного старше электронных машин. Двоичной системой счисления люди интересуются давно. Особенно сильным это увлечение было с конца 16 до 19 века. Знаменитый Лейбниц считал двоичную систему счисления простой, удобной, красивой. Даже по его просьбе была выбита медаль в честь этой «диадической» системы (так называли тогда двоичную систему счисления).
Двоичная система счисления наиболее проста и удобна для автоматизации.
Наличие в системе всего лишь двух символов упрощает их преобразование в электрические сигналы.
Из любой системы счисления можно перейти к двоичному коду.
Почти все ЭВМ используют либо непосредственно двоичную систему счисления, либо двоичное кодирование какой-либо другой системы счисления.
Но двоичная система имеет и недостатки:
Ею пользуются только для ЭВМ для внутренней и внешней работы;
Быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Библиографический список
1. Нестеренко А.В. ЭВМ и профессия программиста. М.: Просвещение, 1990.
2. Решетников В.Н., Сотников А.Н. Информатика – что это? М.: Радио и связь, 1989.
3. Фомин С.В. Системы счисления. М.: Наука, 1987.
4. Информатика: Системы счисления: спецвыпуск, №42 1995.
5. Информатика: Семинар, №2, №3 2006.
6. Информатика: В мир информатики, №8 2007.
7. http://www.internet-school.ru/Enc.ashx?item=3773
Для того чтобы в общих чертах понять, как думает компьютер, начнём с самого начала. Компьютер, по сути, – это много всякой электроники, собранной вместе в правильном порядке. А электроника (до того, как к ней добавили программу) понимает только одно: включена она или выключена, есть сигнал или нет сигнала.
Обычно «есть сигнал» обозначают единицей, а «нет сигнала» – нулём: отсюда и выражение, что «компьютер говорит на языке нулей и единиц».
Этот язык нулей и единиц называют ещё двоичной системой счисления – потому что в ней всего две цифры. Наша привычная система счисления – десятичная, в ней десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Но есть и множество других – восьмеричная, пятеричная, одиннадцатиричная и какая угодно ещё.
У нас с вами нет цифры «десять», правда? Число 10 состоит из двух цифр – 1 и 0.
Точно так же в пятеричной системе счисления не будет цифры «5», только 0, 1, 2, 3 и 4.
Посчитаем в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10 , 11, 12, 13, 14, 20 , 21, 22, 23, 24, 30 , 31, 32, 33, 34, 40 , 41, 42, 43, 44, 100 (!!!), 101, 102 и так далее. Можно сказать, что как система счисления называется, такой цифры в ней и нет. В нашей десятичной нет цифры «10», в пятеричной нет цифры «5» (и всех, которые после неё), в восьмеричной – «8» и так далее.
А в шестнадцатиричной «16», например, есть! Поэтому нам шестнадцатиричную систему понять ещё сложнее. Давайте посчитаем в шестнадцатиричной:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10 , 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20 , 21, 22…97, 98, 99, 9A, 9B, 9C, 9D, 9E, 9F, A0 , A1, A2… F7, F8, F9, FA, FB, FC, FD, FE, FF, 100 , 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 10A, 10B, 10C и так далее.
Двоичная система счисления, впрочем, тоже выглядит странновато для непривычного взгляда:
0, 1, 10 , 11, 100 , 101, 110, 111, 1000 , 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000 , 10001…
Вот примерно такими числами и думает компьютер где-то внутри себя. Но человеку такими числами думать совершенно неудобно, поэтому мы преобразуем числа из двоичной в более удобную систему счисления.
В компьютерных программах часто используют восьмеричную и шестнадцатиричную системы: компьютеру легко их понять (потому что 8=2*2*2, 16=2*2*2*2, а с двоичной системой компьютер знаком изначально), а для людей это удобно, потому что поближе к привычной десятичной.
Как же переводить числа из одной системы счисления в другую? Чтобы понять принцип, будем, как мы с вами любим, разбираться на конфетах.
И на конфетах мы с вами будем переводить число 33 в восьмеричную систему счисления. Мы решим, что единицы – это сами конфеты, а десятки – это коробки, в каждой из которых лежит по десять конфет. Вот и получится, что 33 – это 3 коробки по 10 конфет и ещё 3 конфеты где-то сбоку.
Но мы переводим наше конфетное богатство в восьмеричную систему счисления, а это значит, что нам надо вытряхнуть все конфеты из коробочек по 10, сложить в коробочки по 8 и посмотреть, что из этого выйдет.
Из 33 получится 4 полных восьмеричных коробочки и 1 конфета останется сама по себе, так как 33/8=4 (ост. 1). То есть 33=8*4 +1 – так в восьмеричной системе счисления получается число 41 .
33 в десятичной – это 41 в восьмеричной. Это одно и то же число, просто разложенное по разным коробочкам, переведённое в разное основание. Количество конфет не поменялось, мы просто считали их по-разному!
Двоичная система, как мы уже выяснили, более странная и непривычная для человеческого взгляда. Давайте попробуем перевести 33 в двоичную – получится аж 16 коробочек по 2! И что же делать? Писать 16 как-то странно, помня о том, что в двоичной системе есть только ноль и единица, а шестёрки, которая нам нужна для шестнадцати, совершенно точно нет!
Посмотрим на нашу десятичную систему. В ней мы считаем десятки – 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – а когда у нас набирается десять десятков, мы достаём большую коробку – 100.
У нас 100 – это 10*10, 1000 – 10*10*10, 10 000 – 10*10*10*10 и так далее. Для других систем счисления это работает точно так же! В восьмеричной системе 100=8*8, 1000=8*8*8; в двоичной 100=2*2, а 1000=2*2*2; а в шестнадцатиричной (есть и такая, помните?) 100=16*16, 1000=16*16*16.
Здесь нам пригодятся степени. Если вы их ещё не проходили в школе, не пугайтесь, степени – это очень просто. Число в степени – это число, сколько-то раз умноженное на само себя. То есть 5 3 =5*5*5 (пять в третьей степени – это пять , три раза умноженная сама на себя: 5*5*5), или 8 5 =8*8*8*8*8 (восемь в пятой степени – это восемь , пять раз умноженная на саму себя: 8*8*8*8*8).
Если мы вспомним про наши 10 000=10*10*10*10 в десятичной и 1000=8*8*8 в восьмеричной, то можно легко заметить, что сколько нулей, столько раз и умножаем на само себя. Другими словами, количество символов в числе минус один – это степень, в которую надо возвести основание. В числе 1000 у нас четыре символа, значит умножать надо 4–1 , то есть 3 раза. Если основание 10, то тысяча – это 10, три раза умноженная сама на себя: 10*10*10. Если основание 8, то тысяча – это 8, три раза умноженная сама на себя: 8*8*8.
Обо всём этом мы заговорили, пытаясь перевести 33 в двоичную систему. Просто так поделить это число на коробочки по 2 оказалось затруднительным. Но если вспомнить про наши сотни-тысячи, можно задуматься: а ведь в двоичной 100=2*2, 1000=2*2*2, 10 000=2*2*2*2 и так далее.
Для перевода из десятичной системы в двоичную удобно помнить степени двойки. Даже можно сказать, что без этой хитрости со степенями мы устанем, умаемся и немножко сойдем с ума. А степени двойки выглядят как-то так:
Теперь, глядя на табличку, мы видим, что 33=2 5 +1, то есть 33=2*2*2*2*2+1. Вспоминаем – сколько раз умножаем, столько будет нулей – то есть наше 2*2*2*2*2 в двоичной системе будет 100000. Не забудем оставшуюся в стороне единичку, и получится, что 33 в десятичной – это 100001 в двоичной. Правильно и красиво это записывают так:
33 10 =100001 2
Давайте (чтобы совсем хорошо понять) переведём в двоичную систему число 15.
- В первую очередь – смотрим в табличку.
а) Какое самое близкое к 15 число в ней? Нет, 16 не подходит, оно больше, а нам нужно самое близкое, которое меньше. Получается, что это 8, то есть 2 3 , то есть 2*2*2.
б) Восемь конфет из 15 разобрали, осталось – 15-8 – семь. Какое ближайшее число из таблички? Нет, восемь снова не подойдет, см. выше. Подойдет четыре, то есть 2 2 , то есть 2*2.
в) Четыре из семи конфет разобрали, осталось – 7-4 – три. Из таблички понимаем, что самое близкое число – 2, то есть 2 1 , то есть просто 2.
г) Три минус два – осталась 1 конфета, тут уже табличка не понадобится. В таблички такого рода можно не смотреть, когда ваш остаток меньше основания, а наша единица точно меньше двойки.
- Собираем всё найденное в табличке вместе: 15=2 3 + 2 2 + 2 1 + 1, оно же: 15=2*2*2 + 2*2 + 2 + 1.
- В двоичной системе 2*2*2=1000, 2*2=100, 2=10, помните? И у нас получается 1000+100+10+1, то есть 1111.
- Итак,
15 10 =1111 2
Когда просто смотришь на все эти шаги, кажется, что это просто свалка из Кучи Разных Странно Написанных Цифр . И запутаться во всём этом в первый раз – нормально. И во второй, и в третий. Просто попробуйте сделать это ещё и ещё раз – по шагам, как написано выше, и всё получится.
И наоборот это тоже работает! Например, число 11010101 2 – как из него сделать понятное десятичное? Точно так же, при помощи таблички. Пойдем с конца:
1*2 0 +0*2 1 +1*2 2 +0*2 3 +1*2 4 +0*2 5 +1*2 6 +1*2 7 =
1*1+0*2+1*4+0*8+1*16+0*32+1*64+1*128=
1+0+4+0+16+0+64+128=213
11010101 2 = 213 10
Вот примерно так компьютер понимает привычные нам числа.
Когда смотришь на это в первый раз, кажется, что это, во-первых, совершенно непостижимо, а, во-вторых, вообще не сработает. Поэтому сейчас мы с вами сделаем немножко математической магии, чтобы убедиться, что системы счисления – это такая же реальная вещь, как, например, задача «раздать пятерым детям пятнадцать печенек поровну».
Итак, возьмем пример 15+6 и решим его в разных системах счисления. Понятно, что в нашей, десятичной, получится 21. А что выйдет, например, в восьмеричной?
Переводим 15 в восьмеричную систему счисления. Первый шаг у нас при переводе в другую систему – посмотреть в табличку степеней. 8 2 – это уже 64, и в 15 оно точно уже никак не влезет, поэтому берем 8 1 – то есть просто 8. 15–8=7, оно меньше нашего основания 8, поэтому с ним мы ничего не делаем.
Итак, получилось, что 15=8 1 +7 .
В восьмеричной системе логика точно такая же, как, например, в двоичной: 8 3 – это 1000, 8 2 – это 100, 8 1 – это 10. Получилось, что:
15 10 =17 8
Напомню, наш пример был 15+6. 15 мы перевели в восьмеричную систему, как же перевести 6? Она меньше 8, нашего основания, поэтому ответ – оставить как есть. Наш пример сейчас выглядит так:
15 10 +6 10 =17 8 +6 8
Теперь мы будем складывать в восьмеричной системе счисления. Как это делается? Так же, как и в десятичной, но надо помнить, что десяток в восьмеричной системе – это восемь, а не десять, и что 8 и 9 в ней не существует.
Когда мы считаем в десятичной системе, по сути, мы делаем так:
15+6=15+5+1=20+1=21
Попробуем проделать тот же фокус в восьмеричной системе:
17 8 +6 8 =17 8 +1 8 +5 8 =20 8 +5 8 =25 8
Почему 17+1? Потому что 7+1=8, а 8 – это наш десяток! В восьмеричной системе 7+1=10, а значит, 17+1=20. Если на этом месте ваш мозг начинает бить тревогу и рассказывать, что здесь что-то не так, вернитесь в начало статьи, где мы с вами считали в разных системах счисления.
Теперь наш пример выглядит как
15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8
Переведем 25 8 обратно в нашу систему счисления. В десятичной мы бы, увидев число 25, могли сказать, что в нём две десятки и пять единиц. В восьмеричной, как вы, наверное, уже догадались, число 25 8 – это две восьмерки и пять единиц. То есть 25 8 =2*8+5=21 10 .
Итак, наш пример целиком:
15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8 =21 10
Получилось точно такое же 21, какое вышло у нас в самом начале, когда мы посчитали 15+6 привычным нам способом в десятичной системе.
Арифметические правила не меняются от того, что мы выбрали другую систему счисления.
Поэтому и компьютер, переводя всё в нули и единицы, которые для нас выглядят непонятно и бессмысленно, не теряет при этом информацию, которую мы ему дали, и может, посчитав в удобной ему форме, выдать результат, переведя его обратно в привычный нам вид.